简介
使用的版本:朗道理论物理教程(卷01)-力学(第5版)-[俄]朗道&栗弗席兹-李俊峰&鞠国兴(译)-高等教育出版社-2007
本文相当于一份读书笔记,记录一些思考,其中有不少疑问,请注意辨别.
第一章 运动方程
最小作用量原理
拉格朗日最小作用量原理的应用条件:
一个系统的初始,结束位置确定,则存在最小作用
即:
\[q=\begin{cases} q_1 &t=t_1\\ q_2 &t=t_2 \end{cases}\]但是不要求系统完全确定,即不要求:
\[q=\begin{cases} q_1 &t=t_1\\ q_2 &t=t_2 \end{cases}\] \[\dot{q}=\begin{cases} \dot{q_1}&t=t_1\\ \dot{q_2}&t=t_2 \end{cases}\]从原文来看:
\[L(q_1,q_2,...,q_s,\dot{q_1},\dot{q_2},...\dot{q_s},t),\]力学系统运动规律的最一般表述由最小作用量原理(或哈密顿原理)给出,根据这个原理,每一个力学系统都可以用一个确定的函数:
或者简记为$L(q,\dot{q},t)$所表征,…
对于非封闭系统也有拉格朗日函数.
从拉格朗日的微分形式观察,其系数似乎可以任意设定, 但拉格朗日函数的可加性统一这一系数,给了拉格朗日函数需要一个”规范”: 只允许力学系统的拉格朗日函数乘以同一个任意常数,此任意常数对应物理单位的自然任意性.
原因在于拉格朗日的可加性联系了部分与整体.
拉格朗日函数的可加性:两个系统A,B,若距离足够远,则相互作用可以忽略,因此整体系统的拉格朗日函数趋向于极限:
\[\lim L=L_A +L_B\]若拉格朗日函数的系数可以任意设定,则会导致以下悖论:
\[\lim L=L_A +L_B\] \[\lim 2L=L_A+3L_B\]既然可以任意设置系数,则这两个方程应该都成立,事实上这两个方程是不兼容的,无法同时成立.
伽利略相对性原理
惯性参考系的定义:一个空间上均匀,时间上均匀的参考系,空间,时间的均匀性,结合拉格朗日函数,可以推导出质点是匀速直线运动的.这就是惯性定理的由来.
有一点需要注意,就是坐标系的选择:
原文中有如下表述:
时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的矢径$\overrightarrow{r}$和时间t,即L只能是速度$\overrightarrow{v}$的函数.
事实上,这个结论在直角坐标系下是对的,但是在其他坐标系下,L是可以包含位置的(未严格验证,确认).一个可能的例子.
自由质点的拉格朗日函数
通过伽利略变换以及泰勒展开等手段,可以证明拉格朗日函数是$v^2$的函数.不妨令:
\[L=\frac{m}{2}v^2\]其中m为常数
不同坐标系下的拉格朗日函数:
\[L=\frac{m}{2}v^2\\ v^2=(\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t})^2=\frac{\mathrm{d}l^2}{\mathrm{d}t^2}\]将$\mathrm{d}l^2$在各个坐标系下的表达式写出即可获得各个坐标系下的拉格朗日函数.
质点系的拉格朗日函数-关于系统的讨论
封闭正交直角坐标惯性系中的无相互作用的质点系可以表示为:
\[L=\sum_{a}{\frac{m_a}{2}{v_a}^2}\]加上相互作用的话就是:
\[L=\sum_{a}{\frac{m_a}{2}{v_a}^2}-U(q_1,q_2,...q_n)\]注意,这里隐含了一个条件:相互作用与$\sum_{a}{\frac{m_a}{2}{v_a}^2}$是可分离的,而原文中也存在注释:
这个结论仅限于本书所述的经典(非相对论)力学范畴.
将此形式的拉格朗日函数代入最小作用量方程中,可以获得牛顿方程:
\[m_a \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v_a}}{\mathrm{d} t}=-\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a} }\]并对力进行定义:
\[\overrightarrow{F_a}=-\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a} }\]去掉正交直角坐标系的限制:
\[L=\frac{1}{2}\sum_{i,k}{a_{ik}(q)\dot{q_i}\dot{q_k}-U(q)}\]去掉直角坐标系的限制后,最大的变化就是出现了T对坐标q的依赖,而在直角坐标系中,是没有依赖的,不过T是速度的二次函数这一点依然没变.
去掉封闭性条件:
假定存在系统A,B,A为非封闭质点系,B为完全已知的系统,A+B为封闭系统,则:
其中$U(q_A,q_B)$不仅代表A,B之间的相互作用,也代表A,B内部的相互作用.
而我们的目标拉格朗日函数是一个仅仅描述A的函数,因此其为$L=L(q_A,\dot{q_A},t)$
为了统一$L_A,L_{A+B}$,我们进行如下处理:把$q_B$看成时间的函数$q_B(t)$,同理:$\dot{q_B}=\dot{q_B}(t)$.所以$T_B(q_B,\dot{q_b})$只是时间的函数,因此可以忽略(拉格朗日函数附加项问题).
因此$L_{A+B}$就是一个关于$q_A,\dot{q_A},t$的函数,这就是我们的目标.
\[\begin{aligned} L_A&=L_{A+B}\\ &=T_A(q_A,\dot{q_A})+T_B(q_B(t),\dot{q_B}(t))-U(q_A,q_B(t))\\ &=T_A(q_A,\dot{q_A})-U(q_A,q_B(t))\\ \end{aligned}\]对于定常外场来说,$q_B(t)$是常数,$L_A$进一步简化:
\[T_A(q_A,\dot{q_A})-U(q_A)\]此表达式的形式与封闭体系的拉格朗日函数相同,即一般封闭体系与定常外场两者同时出现,适用于一者的定律,对另一个也适用.
第二章
名词解释:运动积分
在力学系统运动过程中,描述其状态的2s个变量$q_i,\dot{q_i} (i=1,2,…,s)$随时间变化.但是存在关于这些变量的某些函数,其值在运动过程中保持恒定,且仅由初始条件决定,这样的函数称为运动积分
换一种说法就是各个坐标,速度之间的与时间无关的约束关系,如机械系统的轨迹约束等等.
一个自由度对应一个最小作用量原理确定的运动方程
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} \dot{q_i}}=\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} q_i}\]此方程为二阶方程,其解有两个初始常数,
因此s个自由度对应s个方程,2s个解函数($q=q(t),\dot{q}=\dot{q}(t)$),2s个初始常数,利用2s个解,消去变量t,t对应的初始常数$t_0$,剩下2s-1个方程,2s-1个初始常量,对于初始常量来说,此方程组可解(可解出初始常量).因此最多有2s-1个运动积分.
时间均匀性对应的积分
L函数包含运动系统的与初始值无关的信息,时间均匀性显然和初始条件无关,因此可以从L函数分析时间均匀性.
时间均匀性代表L函数不显含时间,并且对时间的导数为0,解得:
\[E=\sum_{i}{\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i} }}-L\]上式仅仅包含两个条件:L函数不显含时间,并且对时间的导数为0,我们加入更多的信息.
限定在封闭(定常外场)
此时:
\[L=T(q,\dot{q})-U(q)\]