事情的起因
这件事源于我同学与我的讨论.焦点一,谁错了?,在xxx的理论力学中(pxxx)指出,一般理论力学中推导哈密顿原理的方法是错的,其忽略了$\delta q,\delta p$所具有的约束性,其中的$\delta q$并不是完全自由的,因为其起点与终点是固定的.此外,这本书还指出朗道的力学中没有犯这个错误.
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朗道力学
在朗道力学中(朗道力学高等教育出版社第五版,李俊峰 鞠国兴译校,p2)
力学系统运动规律的最一般表述由最小作用量原理(或者哈密顿原理)给出….
这里我同学提出朗道认为哈密顿原理与最小作用量原理是一样的,并且他认为这是对的.
第一点我表示怀疑,朗道的时代,这些力学原理已经成熟,哈密顿原理与最小作用量原理是不同的原理,是有历史证据的,像朗道这样的人是不可能将其混为一谈的.
不过,在朗道的力学书中,确实几乎没有提到过哈密顿原理,我认为这是一些翻译的问题,在p136中:
译者指出:
最小作用量原理(本书)->哈密顿原理(其他) 莫培督原理(本书)->最小作用量原理,莫培督原理(其他)
从这里可以看出,朗道眼里,最小作用量与哈密顿量原理是不同的,只不过在书中,用的是莫培督原理这一名词代替了哈密顿原理.
第二点,经过查证,最小作用量原理与哈密顿原理确实具有历史性的不同,而且,最小作用量原理也曾被称之为莫培督原理,这也解释了为什么朗道的书中的名词与其他文献的不大一样.
知乎中有人指出link(高赞第二个)
L. Maupertuis（中文一般是翻译成莫陪督？）于1747 年提出了力学中最早的（正确的）最小作用量原理，史称莫陪督原理。 莫陪督的作用量定义为： $S=\int_{q_0}^{q_1}p\mathrm{d}q$,其中q是坐标，p是动量。（你看，莫陪督作用量就是对路程积分的！）
而哈密顿原理:link(高赞第一个)
哈密顿提出：既然满足欧拉方程的函数 使积分 取极值，那么对应拉格朗日方程，也一定有积分 取极值。这个拉氏量在时间上的积分就是哈密顿作用量。上面分析说明：力学体系从时刻 到时刻 的一切可能运动之中，只有使哈密顿作用量取极值的运动，才是实际发生的运动。这就是哈密顿原理。
作者：武奘 链接：https://www.zhihu.com/question/49361447/answer/932775249 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
哈密顿原理是哈密顿总结欧拉和拉格朗日的工作而得出的.
其与最小作用量的区别在于哈密顿原理更加具体,wiki上也有类似表述.
哈密顿原理的被积量为时间,而最小作用量仅为q,被积函数为拉格朗日函数,而最小作用量原理为p.
如何理解最小作用量原理,拉格朗日方程,变分原理,哈密顿原理等
定义汇总
朗道书中的定义:
\[\begin{array}{|l|l|} \hline {\text { 本书 }} & {\text { 其它文献 }} \\ \hline \text { 最小作用量原理 } & \text { 哈密顿原理 } \\ \hline \text { 莫培督原理 } & \left\{\begin{array}{l} \text { 最小作用量原理 } \\ \text { 莫培督原理 } \end{array}\right. \\ \hline \text { 作用量 } & \text { 哈密顿主函数 } \\ \hline \text { 简约作用量 } & \text { 作用量 } \\ \hline \end{array}\]莫培督原理
\[\begin{align} S_{0}&=\int \sum_{i} p_{i} \mathrm{d} q_{i}\\ \delta S_0 &=0 \end{align}\]$S_0$为简约作用量
作用量为:$S=\int\left(\sum_{i} p_{i} \mathrm{~d} q_{\imath}-H \mathrm{~d} t\right)$
